初学信号与系统这门课程,感觉很多内容都隐藏着上学期所学的工程数学的影子。首先是傅里叶展开和傅里叶变换。在工程数学中我们已经接触过这个概念以及相关应用,但是工程数学比较强调单纯式子的计算,而在信号与系统中我们深入学习了其在生活与工程中的应用,比如运用工程数学所学的计算方法,将时域信号转变为时间信号的频域分析,由此求直流分量以及 次谐波的有效值。工程数学的侧重点是数学内容,而信号与系统的主要侧重则是解决实际问题,指导工程与生产生活。

由此而言,我认为,信号与系统可以看作关乎工程与生活的一种哲学思维方式。他指导工程与生产生活,因为需要处理实际生活中的复杂性、随机性(比如噪声、采样等);而又因为他用于解决实际问题的基本方法是数学知识,因此信号与系统难免涉及复杂的数学运算(比如各种积分变换)。

连续时间信号与系统的时域分析

在这一部分中,我学到了几类典型的信号——指数信号、正弦信号、复指数信号、抽样信号、钟形脉冲函数(高斯函数)、单位阶跃信号 $u(t)$、矩形信号 $R_{\tau }=u(t)-u (t-\tau )$、符号函数 $\text{sgn}(t)$、单位冲激信号 $\delta(t)$、冲激偶函数。时域是客观实在的真实世界,是自然界实际存在的域。我在学习过程中发现,很多中文教材在讲解这章的时候,都会提到一句古文,“逝者如斯夫,不舍昼夜”,因为我们日常经历的都是随着时间的延续,由此发生和演变的事物,所以时域才被我们熟悉和易于接受。 时域的自变量是时间变量 ,也可以是空间变量,即空间域。信号与系统的时域分析指的是分析信号与系统随时间、空间而变化的物理特征,其定义域是时间或空间的集合。进行连续时间信号与系统的时域分析的意义在于,由于时域是客观存在的域,因此,时域分析具有很强的直观性,易于物理概念直接关联。 在时域分析中,我们还学习了系统的描述。

总结而言,深入理解系统的运算规则,并结合系统特性的概念,是分析系统是否具有某种特性的关键。在系统的特性分析中,线性和时不变性是系统最基本的特性,线性时不变系统(LTI System)也是信号与系统课程中主要的研究对象。在现实生活中,系统的线性和时不变性有很多例子,比如当人听到两种单音调相加合成的声音,人的耳朵是可以分辨出这两种单音调的,当音调改变时,人耳能够辨识,所以人的耳朵可以看成是一个线性时不变系统。 此外,时域分析离不开卷积计算。对于(且仅对于)LTI系统,输入$c(t)$引起的零状态响应有卷积积分
$$r\left(t\right)=e\left(t\right)\ast h\left(t\right)=\int e\left(\tau\right)h\left(t-\tau\right)\ d\tau=\int h\left(\tau\right)e\left(t-\tau\right)\ d\tau$$

利用上述卷积积分,不难求得输入$c(t)$引起的零状态响应。 在有限持续时间信号的卷积运算中,常常需要确定积分的上下限。一个比较简单通用的方法是,令被积函数中的单位阶跃函数$$u(t)\geq 0$$即可得到其上下限。 得到卷积结果后还需注明时间变量$t$的取值范围。若对于卷积积分 $$\int_a^b h (\tau ) e (t-\tau ) \ d\tau$$ 只需在卷积结果后面乘以$u (b-a)$即可。

离散时间信号与系统的频域分析

在这部分的学习中,我主要掌握了离散时间信号的傅里叶变换、离散时间周期信号的傅里叶变换、离散时间系统的频率响应等知识点。横向比较离散时间信号与系统和连续时间信号与系统的知识和处理方法,二者有相似之处,又有独特之处。连续信号是不间断的,因而运算以积分为主;而若信号离散,积分则变为求和。 这部分内容我们在上数字逻辑电路中曾经提及,离散时间信号与系统的频域分析是数字信号与系统分析和处理的基础。

离散系统在频域体现为某种滤波器,比如低通、高通、带通、带阻、全通等,数字滤波器在图像处理、语言信号处理、生物信号处理以及其他工程应用领域都有着很广泛的应用。

我所认为信号与系统课程中最难的部分

我曾在Quora(英文问答网站,类似于中国“知乎”)上看到一个问答“Which is the most difficult topic in signals and systems?”,一位讲授Electrical Engineering的教授如此回答:

I would generally say, based from students’ feedback, that the subjects that are in the deterministic set of theories are far easier than those in the stochastic. By deterministic I mean, all things about linear systems (convolution, superposition, Fourier/Laplace/Wavelets, space state systems, feedback design, filtering and filter banks, stability, etc), and also nonlinear to some degree. That is generally the baseline of signals and systems, and what is more generally emphasized in those disciplines during the undergraduate studies.(根据学生的反馈,确定性理论中的内容比随机性中的内容要容易得多。确定性是关于线性系统(卷积,叠加,傅里叶/拉普拉斯/小波,空间状态系统,反馈设计,滤波和滤波器组,稳定性等)的所有内容,并且在一定程度上也是非线性的。这通常是信号和系统的基线,在本科学习期间,这些学科更强调的是这些基础。而有关随机过程,一切都建立在概率和统计的基础上。当你开始将代数和微积分引入随机过程时,理论开始难以直观地遵循。噪声是电子工程中最令人担忧的元素之一,这与理论的随机性有关。在通信、仪器仪表和通用微电子领域,噪声起着关键作用,是优化/可行性问题的主要制约因素。当你说你需要ADC转换器时,你需要回答多大的功率?精确还是快速?ADC的设计一切都与噪声有关,因为噪声会告诉你能够获得多快的速度,并且你需要将功率和大小与所有变量进行权衡。问题是噪音很难理解和分析。我们通常会说一切都是高斯的,一切都是线性的,所有的噪声都是不相关的,我的估计器中没有偏见等等。然而,当你需要进一步优化时,在某些情况下,你将不得不深入一点,并开始一些艰难的数学工作。)

我们目前接触到的信号与系统大部分还停留于比较简单的范围上,比较重视理论,忽略可能存在的噪声等等不确定因素。然而,我认为在信号与系统学习中,数学运算精准度、细心程度和耐心却是我和周围很多同学缺少的。个人认为,信号与系统的题目比较机械,过程逻辑性强,理解原理之后比较好上手,但是,信号与系统绝大部分题目一则是运算量比较大,二则是方法很重要——找到合适的一种解题方法可以适当减少运算量,同时保证正确率;而假如选择了较为繁琐的方法,则有可能需要繁琐的计算从而导致出错,甚至无法计算得出结果。

人生影响:一种关乎生活的工程思维哲学

信号与系统课程与我们所学的其他课程关联很大,几乎处处都能遇见他的身影——解决电路问题、处理物理过程、解方程等。信号与系统对我的改变也许就是我习惯于将信号与系统的思维方式运用到自己的生活中,或是起决定性作用,或是作为间接辅助作用,在生活培养一种“信号与系统思维”。比如,所有“物理可实现”的系统都是因果系统,输出不可能在输入到达之前出现的系统。我们如若把“努力或不努力”当成“学习”这个系统的输入,那么“成绩好坏”则是输出。我们应当客观地认为在这个系统中,输出不会超前于输入,所以一切守株待兔或是渴望不劳而获、走捷径的想法都是不合实际、不可取的

对于“学习”这种因果系统,我们无法直接改变其输出,但是我们能做的却只有改变输入——多一份激励,多一份输出,这也与“一分耕耘,一分收获”不谋而合。 在学习信号与系统课程的过程中,学习知识和课程内容只是一个方面,其内在方法论和哲学思想是我们应该从具体学习和例题中同样重视的,这也就是为什么信号与系统的知识、方法普适于很多学科之中的一个缘由。

Last modification:February 13th, 2019 at 03:04 pm